Ech brauch dech !

Notre but était dès lors de mettre en pratique ce travail en groupe fructueux. Le centre d’intérêt était de voir comment les enfants allaient s’organiser pour aider leurs camarades. Les problèmes auxquels les enfants allaient être confrontés seraient bien de nature mathématique, mais contrairement à une approche qui pose le langage mathématique (parce qu’il se fonde sur des abstractions de la réalité) comme étant universel et neutre, nous pensons que les concepts mathématiques sont souvent déjà présents chez l’enfant et qu’ils s’articulent sous différentes formes dans le langage courant maîtrisé par les élèves.

Nous sommes donc d’avis qu’un enseignement mathématique devrait permettre aux enfants de travailler sur leurs concepts et de négocier des significations pour aboutir à une compréhension d’un problème posé dans un langage dit scientifique.

Ceci pose naturellement aussi le problème des enfants étrangers, et en particulier de ceux qui ont de sérieuses difficultés en langue allemande. Il n’est pas rare de voir des enfants très intelligents échouer parce qu’ils n’arrivent pas à comprendre l’énoncé d’un problème du fait qu’il est posé en allemand (ou en luxembourgeois). D’autre part nous pensons qu’un enseignement des mathématiques, qui est fondé sur la coopération et l’interaction entre élèves, n’est non seulement une opportunité pour négocier différentes vues d’un problème mathématique mais tout autant une situation d’apprentissage langagier pour tous les enfants et en particulier pour les enfants immigrés.

Nous avons, dans une première phase, confronté les enfants à un problème, qu’il fallait résoudre en groupes.

Or pour résoudre le problème (La Grande Marelle), Nathalie, Max et Ben discutaient entre eux:

Nathalie écrit douze.
Max: Jo!

Déi Zweeanzwanzeg kréie mer nach ëmmer hei!
Max montre sur des cases plus haut.

Le 12 novembre, je faisais l’expérience des calculs du type
__+ 6 = 12.
Je prenais une boîte, où je mettais des couleurs (ou des pions magnétiques ou …).
Puis j’ajoutais p.ex. 6! Un élève comptait le nombre total. Maintenant je voulais savoir combien de couleurs il y avait au début. Ici une première difficulté était de traduire la situation dans le langage mathématique. Voici maintenant comment Jessica, Sam et Kevin s’y prenaient pour résoudre
__+ 4 = 11.  

  Si on considère les résultats des enfants dans les travaux cités auparavant, on pourrait se demander pourquoi ils ont réussi à résoudre des problèmes aussi “difficiles” quand il leur était permis de travailler en groupe.

Analysons dans ce sens le travail des enfants. Revenons au dialogue autour de La Grande Marelle!  

Même si les enfants parlent de “deux et deux” au lieu de “vingt-deux” ils ont déjà une bonne notion de la valeur numéraire. Ils savent que le “deux et deux” est plus grand que le “un et huit” ou le “un et deux”. En outre dès que le problème actuel est résolu, Max utilise la dénomination habituelle “vingt-deux”:

Max: Jo! Déi Zweeanzwanzeg kréie mer nach ëmmer hei!

Dans ma classe de quatrième année d’études, j’ai confronté mes enfants à un problème intitulé Der Frosch. Voici un extrait d’une discussion entre César, Dany, Martine et moi-même:

Dès le début, tous les groupes s’étaient précipités dans une fausse direction en voulant diviser le nombre de sauts à effectuer par le nombre de nénuphars. J’ai donc dû intervenir dans tous les groupes en invitant les enfants à se concentrer sur le nombre de sauts à exécuter pour revenir au premier nénuphar.

Analysons le processus de réflexion dans le groupe cité ci-dessus.

Avec l’aide de l’instituteur, on s’est mis d’accord qu’après huit sauts la grenouille se retrouve au point de départ et, de ce fait, qu’après un nombre de sauts égal à un multiple de huit, la grenouille se retrouve sur le nénuphar numéro un. Martine a reconnu qu’il s’agit maintenant d’effectuer la division par 8. Dany et César acceptent l’idée. Pour voir si Dany et César ont vraiment identifié le problème, l’instituteur demande une explication. C’est Dany qui la fournit (en s’exprimant d’une manière confuse; c’est vrai), une explication alors approuvée par César.  

Ces exemples nous montrent l’effet bénéfique du travail en groupe. En coopérant avec les autres membres du groupe les enfants prennent conscience du problème et par conséquent contrôlent la situation posée par le problème. La prise de contrôle leur permettra dorénavant de manier le concept acquis d’une manière autonome. Les enfants profitent de la communication pour résoudre le problème, pour apprendre! Même confrontés tout seuls à un tel problème, ils auront maintenant une stratégie, un savoir-faire qu’ils ont acquis au sein du groupe.

Dans les deux premiers exemples d’expériences, les enfants manipulent des nombres plus élevés qu’ils ne le devraient, selon le programme ou l’opinion générale. Le dépassement du dix dans l’exemple __+ 4 = 11 est un calcul auquel les enfants sont généralement confrontés à la fin de la 1ère année d’études.

Or les enfants ne sont pas dupes et il ne faut pas les sous-estimer. Ils ont bien une idée, une hypothèse en tête sur le monde des nombres. En collaborant avec ses condisciples, un enfant va mettre à l’épreuve ses hypothèses.

Dans nos programmes très segmentés, il n’y a plus beaucoup de place à en faire autant.

La citation ci-après de deux auteurs suisses illustre très bien le problème sous-jacent de la dissection, segmentation d’une matière (p.ex. les mathématiques) en mille petits morceaux “digestibles”.  

“überforderung durch Unterschätzung! (…) Absicht dieser Segmentierung ist es, überforderung zu vermeiden. Das Gegenteil tritt ein: Die kleinen, oft banalen Teilgebiete, die vom Schüler nirgends eingeordnet werden können, häufen sich im Laufe der Jahre zu einem unübersichtlichen Stoffberg an. Das Interesse an Mathematik ist längst erloschen. Die permanent unterschätzten Schüler fühlen sich überfordert. Mathematik erscheint ihnen banal und unverständlich zugleich (…)” 4  

Ceci est vrai pour toutes les matières (langues, géographie, etc.). Sans contexte réel toute matière devient embrouillée. Elle est au-dessus des forces des élèves.

  Revenons au volet mathématique-langue:

A ce sujet nous voudrions citer Martin Hughes:

"(...)children's difficulties may to alarge extent be caused by the language with which they must express their abstraction. In
other words, their difficulties may have been in understanding and using the particular
form of language in statements like Two and two makes four. we should
pay much more attention to the language of mathematics - even that we should consider
mathematics as a language in itself. 5

“(…) it is often very useful to think about children’s mathematical understanding in terms of their ability - or inability - to carry out particular translations.” 6

  “I have referred to this as the formal code of arithmetic, and indeed I often find it useful to think of mathematics as like a secret code, known only to those initiated into it (…) One essential feature is that it is context-free (…) It also rests heavily on written symbolism (2 +2 = 4 ). Both the written and the context-free nature of the formal code cause considerable difficulties for young children (…) In order to solve practical mathematical problems, we need to be capable not only of operating within the formal code, but also of making fluent translations between formal and concrete representations of the same problem.” 7  

L’idée de Martin Hughes est que la difficulté pour les enfants en mathématiques n’est pas de comprendre la situation concrète, mais la traduction de la situation en “langage mathématique”. Les enfants éprouvent des difficultés à traduire la situation concrète dans le symbolisme mathématique, qui répétons-le, est arbitraire.

  Jessica à Kevin: Do muss mer “ist gleich” … an sin der elef an der Këscht … elo musse mer der elef kréie mat véier!”  

Kevin n’arrive apparemment pas à noter le calcul de façon traditionnelle. Jessica veut l’aider, mais ne se sent pas à l’aise elle non plus. Pourtant, ils réussiront ensemble à faire la traduction. Sam, lui, débarrassé de ses problèmes formels, se concentre sur la résolution du problème. Il imagine une stratégie pour trouver la solution.

  “Dann kommen der nach …!! Waart! Elo waart! Hei du häls der am Kapp, wéivill der bäikommen … Du verhäls der am Kapp, dass keng 4 drakënnt.”  

Ce sont l’interaction et le dialogue qui les poussent plus loin dans leurs réflexions. Le travail en groupe leur a permis de réussir.  

Les conclusions à tirer de ces exemples de travail d’enfants, seront de nouveau très bien illustrées par des citations de Martin Hughes:

“(…) when children first encounter written arithmetic in school, it serves no obvious purpose.” 8  

Il faut donc replacer les mathématiques dans des situations concrètes, leur donner un sens. Ainsi les enfants sont amenés à traduire du concret au formel et inversement du formel au concret

  “Vygotsky’s idea that scientific and mathematical thinking should be regarded as tools, and his emphasis that writing should be meaningful for children, that an intrinsic need should be aroused in them, an that writing should be incorporated into a task that is necessary and relevant for life. (Vygotsky,1978)

Competence in formal logic would then be seen as characterised not only by correct manipulation of formal symbols, but also by fluent translation between formal thinking and concrete examples.” 9  

En outre, chaque enseignant devrait respecter les différentes stratégies qu’appliquent les élèves pour résoudre des problèmes. Il serait facile de mettre les différentes stratégies au centre d’une discussion! Laquelle est la plus facile? Laquelle est la plus rapide? Souvent pour les enfants la stratégie la plus rapide ne concorde pas avec la plus facile! Ils aiment bien choisir la méthode qui leur convient personnellement! La question n’est donc plus de savoir quelle est la stratégie correcte, parce que préconisée par le programme, le livre! Il y a plusieurs stratégies correctes! Les adultes font également à leur tête en résolvant un problème, pourquoi pas les enfants? De toute façon, dans 99% des cas la solution traditionnelle du livre est soudain si attrayante pour les élèves et si facile, parce qu’ils voient un sens à l’adopter et parce qu’ils ont appris à connaître son avantage. Et, grande différence, leur stratégie était prise au sérieux en même temps que leur personnalité. Les élèves comprennent l’utilité d’un tel symbolisme et voient bien que l’humanité a essayé de trouver par le détour d’autres stratégies (comme le font les enfants, si on leur laisse le temps) les solutions les plus faciles (souvent celles du programme).

Les mathématiques, un système de symboles, un langage, qui changeaient et qui changeront à travers l’histoire!

Vous pouvez nous envoyer vos questions et commentaires, ainsi qu'un aperçu sur vos expériences dans ce domaine.

Schicken Sie uns Ihre Fragen, Ihren Kommentar und eine Übersicht über eigene Erfahrungen in diesem Bereich.